Propiedades numéricas del 6, 60, 216 y 666

Índice.

Introducción.
6.
60: Sistema sexagesimal.
216.
666.

Introducción.

He recopilado las propiedades numéricas más importantes o llamativas de los números 6, 60, 216 y 666, que son números relacionados entre sí.

Este artículo de Matemáticas sirve de introducción al siguiente, un artículo sobre numerología (esoterismo), aplicada en sociopolítica, religión y misticismo de los números 6, 216, 666 y 6 millones.

Antes de continuar, es necesario ser consciente de la ley fuerte de los números pequeños, según la cual, los números pequeños, al ser pocos, aparecen por todas partes e intervienen en multitud de casualidades numéricas. Esto no debe llevar a engaño y hacer creer que dichas casualidades son más especiales o que señalan algo mágico. Todos los números pequeños “disfrutan” de muchas curiosidades numéricas.

6.

Euclides llamó al número 6 “perfecto” por ser igual a la suma de sus divisores (6 = 1+2+3). Desde entonces a los números que tienen esta propiedad se les llama perfectos: 28, 496, 8128, …

El 6 es el menor número perfecto.
Es el segundo número compuesto más pequeño.
Es el tercer número triangular: T(3) = 6· T(8) = 36 (6 · 6) también es triangular.
Es un número octahedral.
Es un número congruente.
Es el único número resultado de la suma y el producto de tres enteros positivos.
Es un número perfecto unitario, un número divisor armónico y un número altamente compuesto.

60: Sistema sexagesimal.

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60 (6 x 10), cuyo origen procede de los sumerios, pasando luego a los babilonios. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En este sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6:

Unidades de tiempo:

• 1 minuto = 60 segundos (6 · 10)
• 1 hora = 60 minutos (6 · 10)
• 1 día = 24 horas (6 · 4)
• 1 semana = 7 días (6 días laborables + 1 de descanso)
• 1 mes = 30 días (6 · 5)
• 1 año = 12 meses (6 · 2) = 360 + 5 días (6 · 6 · 10 + 5)

Unidades de ángulos:

• Minuto de arco = 60 segundos de arco (6 · 10)
• Grado = 60 minutos de arco (6 · 10)
• Círculo = 360 grados (6 · 6 · 10)

Se ve claramente la relación entre grados de circunferencia y tiempo. Supongo que la medición del tiempo con relojes circulares y manecillas que miden segundos y minutos procede de la trigonometría (y la astronomía) sexagesimal, o al revés.

El calendario chino está formado por 5 ciclos de 12 años cada uno (60 años en total).

El sextante es un antiguo instrumento de navegación que mide ángulos entre dos objetos lejanos. El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados, un sexto de un círculo completo.

El sistema de numeración babilónico era base 60. Pero a diferencia del sistema decimal que tiene 10 símbolos distintos para representar los números, los babilonios sólo empleaban 2 símbolos que combinados producían los 60 símbolos de su sistema de numeración, el cual tenía vestigios de un sistema de numeración decimal.

En geometría euclidiana: Todos los ángulos internos de un triángulo equilátero tienen 60º. La suma de los grados de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º (6 · 3 · 10).

Relación con los números primos: Divisores de 60 son los tres primeros números primos: 2, 3 y 5. También son números primos el anterior y el siguiente al 60: 59 y 61.

Relación con el número : Ptolomeo usaba para una gran aproximación:

216.

216 es el volumen del cubo formado por un lado de longitud 6: 216 = 6³.

También es el más pequeño cubo que es la suma de 3 cubos consecutivos: 216 = 6³ = 3³ + 4³ + 5³.

Es la suma de dos primos gemelos: 216 = 107 + 109.

Es un número intocable.

Es un número de Harshad en base 10.

216 = φ(666), en donde la función φ de Euler es la cantidad de números enteros menores que y coprimos con .

666.

Es un número abundante.

Forma parte de los índices de la secuencia de Padovan de números primos.

Propiedades como repdigit (número con todos los dígitos iguales):

• Es un repdigit.
• Es el repdigit triangular más grande.
• Propiedad de los repdigits: La media armónica de los dígitos decimales de 666 es un número entero: 6 =

Relación con números primos:

• Es la suma de dos números primos capicúas consecutivos: 666 = 313 + 353.
• La cantidad de números primos hasta 666 es 121, y 121 es la cantidad de números primos hasta 36.
• Es la suma de los cuadrados de los primeros 7 números primos: 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17²
• Es un número de Smith: 666 = 2·3·3·37 y 6+6+6 = 2+3+3+3+7
• φ(666) = 6·6·6 = 216.
• 902659997773 es el menor número primo cuyo inverso tiene un periodo de 666 decimales de longitud.

Relaciones numéricas:

• 6 = 1 − 2² + 3²
• 66 = 1 − 2⁴ + 3⁴
• 666 = 1⁶ – 2⁶ + 3⁶
• 666 =6⁴ - 6³ - 6³ - 6³ + 6 + 6 + 6
• 666 =6 + 6 + 6 + 6·(6·6 + 6·6 + 6·6)
• Es la suma de sus dígitos más los cubos de sus dígitos: 666 = 6 + 6 + 6 + 6³ + 6³ + 6³ (hay en total 6 números con esta propiedad).
• 666 es un divisor de 123456789 + 987654321 (observar que dichos números son la concatenación de todos los dígitos del 1 al 9, y del 9 al 1), como también lo son los siguientes:
• 666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 123 + 456 + 78 + 9
• 666 = 9 +87 + 6 + 543 + 21
• Suma capicúa de cubos: 666 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 5³ + 4³ + 3³ + 2³ + 1³.

Fracciones:

Relaciones numéricas pitagóricas y triangulares:

• Es el 36º número triangular: T(6·6) = 666 = 1 + 2 + 3 + 4 … + 34 + 35 + 36 (y 36 = 6·6).
• Es el 8º número doblemente triangular (aplicación: hay 666 maneras de pintar los vértices de un cuadrado con 8 colores).
• Es el repdigit triangular más grande.
• Es el número triangular más pequeño de la forma a² + b², siendo a+b también triangular. Ejemplo:
• T(6·6) = 666 = T(5)² + T(6)² = 15² + 21², siendo 15 y 21 a su vez números triangulares consecutivos.
• El triplete (216, 630, 666) es un triplete pitagórico (la suma de los cuadrados de los primeros = al cuadrado del tercero): (6·6·6)² + (666 – 6·6)² = 666²
• Se conocen dos triángulos pitagóricos cuya área es un número repdigit, y ese número repdigit está relacionado con el 6 y el 666: (3, 4, 5) con área 6, y (693, 1924, 2045) con área 666666.

Relación con (6² + n²):

666 = (6 + 6 + 6) · (6² + 1²)
666 = 6! · (6² + 1²) / (6² + 2²)

Relación con constantes superimportantes:

• Es la suma de los primeros 144 dígitos de , en donde 144 = (6+6)(6+6).
• Φ = -2 sen (666 º) = -2 cos (6·6·6 º) = -(sen (666 º) + cos (6·6·6 º)) = -(sen (666 º) + cos (6⁶·6 º)) = -(sen (666 º) + cos (6⁶⁶ º)) = -(sen (666 º) + cos (666⁶⁶⁶ º))

En donde Φ es la razón áurea y 6·6·6 = 216.

En números romanos, DCLXVI = 666, que es precisamente la concatenación de los primeros 6 dígitos romanos de mayor a menor.

Fuentes:

• Astroseti > La numeración babilonia.
• Mike Keith – The Number of the Beast.
• MathWorld > Beast Number.
• Robert P. Munafo – Notable Properties of Specific Numbers.
• Amazing Number Facts > Number 41.
• The Wolfram Functions Site > Golden Ratio.
• Wikipedia > Integers.

Más información:

• Mike Keith – The Number of the Beast.
• Eli Eshoh – An Investigation into the Mystical Number 666.